第五節(jié) 帶電粒子在磁場中的運動

　　一、 洛倫茲力

　　洛倫茲力:運動電荷在磁場中所受的力。實驗證明，運動帶電粒子在磁場中受的力F與粒子的電荷q、它的速度v、磁感應強度B有如下關系：。按照矢徑的定義，上式表明，F(xiàn)的大小為: ，θ為v與B之間的夾角；F的方向與v和B構成的平面垂直（如圖）。而且F的方向與電荷q的正負也有關系。由于洛倫茲力的方向總與帶電粒子速度的方向垂直，洛倫茲力永遠不對粒子作功。它只改變粒子運動的方向而不改變它的速率和動能。


　　二、 洛倫茲力與安培力的關系

　　安培力是作用在自由電子上洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。如圖，考慮一段長度為Δl的金屬導線，它放置在垂直紙面向內(nèi)的磁場中。設導線中通有電流I，其方向向上。

　　從微觀的角度看，電流是由導體中的自由電子向下作定向運動形成的。設自由電子的定向運動速度為u，導體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為（自由電子數(shù)密度）n，每個電子所帶的電量為-e。所以根據(jù)電流的定義: 。由于這里電子的定向速度u與磁感應強度B垂直，所以，每個電子由于定向運動受到的洛倫茲力為f=euB。 雖然這個力作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子不會越出金屬導線，它所獲得的沖量最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看來將是金屬導線本身受到這個力。整個長度為Δl的這段導線的體積為SΔl，其中包含自由電子的總數(shù)為nSΔl，每個電子受力f=euB，所以這段導線最終受到的總力為F=nSΔleuB=B(enSu) Δl。而I=enSu，所以F=BIΔl。這正好是安培力。

　　三、帶電粒子在均勻磁場中的運動

　�。�1）粒子的初速v垂直于B:由于洛倫茲力永遠垂直于粒子的速度，它只改變粒子運動的方向，但不改變其速率v，因此粒子將在平面內(nèi)作勻速圓周運動。設粒子的質量為m，根據(jù)牛頓第二定律，f=ma，有:，所以R=mv/qB。運動周期 ， ，f叫做帶電粒子在磁場中的回旋共振頻率�；匦�共振頻率與粒子的速率和回旋半徑（又稱拉摩半徑）無關。

　�。�2）普遍情形:普遍情形下，v與B成任意夾角θ。如圖，v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ.若只有v⊥分量，粒子將在垂直于B的平面內(nèi)作勻速圓周運動；若只有v∥分量，磁場對粒子沒有作用力，粒子將沿B的方向（或其反方向）作勻速直線運動。當兩個分量同時存在時，粒子的軌跡將成為一條螺旋線。其螺距h（粒子每回轉一周時前進的距離）為 ，它與v⊥分量無關。

　　四、何質比的測定:

　　利用電子（或其它帶電粒子）在磁場中偏轉的特性，可以測定出它們的電荷與質量之比，即所謂荷質比。

　�。�1）湯姆孫測電子的何質比的方法:
　　
　　如圖，玻璃管內(nèi)抽成真空，陽極A與陰極K之間維持數(shù)千伏特的電壓，靠管內(nèi)殘存氣體的離子在陰極引起的二次發(fā)射產(chǎn)生電子流。陽極A和第二個金屬屏A'的中央各有一個小孔，在K、A之間被加速了的電子流，只有很窄一束能夠通過這個孔。如果沒有玻璃管中部的那些裝置，狹窄的電子束依靠慣性前進，直射在玻璃管另一端的熒光屏S的中央，形成一個光點O。 C、D為電容器的兩極板，在它們中間可產(chǎn)生一個豎直方向的電場。在圓形區(qū)域里，可由管外的電磁鐵產(chǎn)生一方向垂直紙面的磁場。適當調(diào)節(jié)電場與磁場的強度，可使它們作用在電子上的力達到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的數(shù)值可以測出電子流的速度v。再將電場切斷，電子束在磁場區(qū)內(nèi)將沿圓弧運動，R=mv/qB，因而電子的何質比為 ，半徑R可以直接從儀器上來確定。

　　（2）磁聚焦法: 　　　　　　　　　　

　　如圖，用磁聚焦法測荷質比裝置的一種。真空玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A，在A、K之間加電壓ΔU時，由陽極小孔射出的電子的動能為 ，從而其速率為 。在電容器C上加一不大的橫向交變電場，使不同時刻通過
　　　　　　　
　　這里的電子發(fā)生不同程度的偏轉。在電容器C和熒光屏S之間加一均勻縱向磁場，如上所述，電子從C出來后將沿螺旋線運動，到 的地方聚焦。適當?shù)恼{(diào)節(jié)B的大小，可使電子流的焦點剛好落在熒光屏S上。這時，h就等于C到S間的距離l，于是從上述h與v的表達式中消去v即得 ，上式右端各量都可以測出，由此即可確定e/m。

　　五、回旋加速器的基本原理:

　　回旋加速器是原子核物理學中獲得高速粒子的一種裝置。這種裝置結構雖然很復雜，但其基本原理就是利用上面提到的那個回旋共振頻率與速率無關的性質。

　　如圖，回旋加速器的核心部分為D形盒，它的形狀有如扁圓的金屬盒沿直徑剖開的兩半，每半個都象字母"D"的形狀。兩D形盒之間留有窄縫，中心附近放置離子源（如質子、氘核或α粒子源等）。在兩D形盒間接上交流電源（其頻率的數(shù)量級為106周/秒），于是在縫隙里形成一個交變電場。由于電屏蔽效應，在每個D形盒的內(nèi)部電場很弱。D形盒裝在一個大的真空容器里，整個裝置放在巨大的電磁鐵兩極之間的強大磁場中，這磁場的方向垂直于D形盒的底面。離子的運動情況如圖:

　　設想正當D2的電位高的時候，一個帶正電的離子從離子源出發(fā)，它在縫隙中被加速，以速率v1進入D1內(nèi)部的無電場區(qū)。在這里離子在磁場的作用下繞過回旋半徑為R1=mv1/qB的半個圓周而回到縫隙。如果在此期間縫隙間的電場恰好反向，粒子通過縫隙時又被加速，以較大的速率v2進入D2內(nèi)部的無電場區(qū)，在其中繞過回旋半徑為R2=mv2/qB的半個圓周后再次回到縫隙。雖然半徑不同，但是周期是一樣的。所以只要縫隙中交變電場以不變的回旋共振周期往復變化，便可保證離子每次經(jīng)過縫隙時受到的電場力都是使它加速的。這樣，不斷被加速的離子將沿著螺線軌道逐漸趨于D形盒的邊緣，達到預期的速率后，用特殊的裝置將它們引出。

　　六、霍爾效應

　　霍耳效應:通有電流I的金屬或半導體板置于磁感強度為B的均勻磁場中，磁場的方向和電流方向垂直。在金屬板的兩側M和N之間就顯示出微弱的橫向電勢差。這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(Hall effect)。電勢差VM－VN 就稱為霍耳電勢差。

　　實驗表明：霍耳電勢差的大小，與電流I及磁感強度的大小B成正比，而與板的厚度d成反比。即:其中RH稱為霍耳系數(shù)。

　　霍耳效應可用磁場中的載流子受到的洛侖茲力來說明:設載流子帶電量為q，載流子的數(shù)密度為n，載流子的平均漂移速度為v，它們在洛侖茲力qvB作用下向板的一側聚集，使得在M、N兩側出現(xiàn)等量異號電荷，在板內(nèi)建立起不斷增加的橫向電場。當載流子受到的洛侖茲力和橫向電場力相等時，載流子不再做側向運動，在平衡時有:設板的側向寬度為b，則:. 由電流強度I的定義，得:，得霍耳電勢差: . 因此，霍耳系數(shù)RH : , 霍耳系數(shù)RH與材料性質有關。

　　因為半導體的載流子濃度遠小于金屬電子的濃度且易受溫度、雜質的影響，所以霍耳系數(shù)是研究半導體的重要方法之一。利用半導體的霍耳效應制成的器件成為霍耳元件。利用霍耳效應還可以測量載流子的類型和數(shù)密度，可以測量磁場。

　　量子霍耳效應: 1980年德國物理學家克立欽(K. Von Klitzing)在低溫(1.5K)和強磁場(19T)條件下，發(fā)現(xiàn):式中的霍耳電勢差與電流的關系，不再是線性的，而是臺階式的非線性關系，這就是量子霍耳效應。量子霍耳效應與低維系統(tǒng)的性質、高溫超導體的性質存在聯(lián)系。另外，量子霍耳效應給電阻提供了一個新的測量基準，其精度可達10－10。1986年克立欽因量子霍耳效應的發(fā)現(xiàn)獲諾貝爾獎金。

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